Disequazioni logaritmiche: spiegazioni, esempi, esercizi

Di Redazione Studenti.

Risoluzione grafica delle disequazioni logaritmiche. Spiegazione facile, esempi ed esercizi pratici delle disequazioni. Ecco come risolverle

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Disperato per le disequazioni logaritmiche? Niente paura, te le spieghiamo noi!
Disperato per le disequazioni logaritmiche? Niente paura, te le spieghiamo noi! — Fonte: istock

Le disequazioni logaritmiche (elementari) si presentano nella forma: oppure:

Risolvere queste disequazioni significa, dal punto di vista grafico, stabilire per quali valori di x la curva logaritmica si trova, rispettivamente, al di sotto o al di sopra della retta y=b.

Come nel caso delle disequazioni esponenziali, si devono distinguere due casi: a > 1 e 0 < a < 1.

Nel seguente diagramma sono riportati i grafici relativi ad entrambe le situazioni (vedi il grafico della funzione logaritmica), oltre al grafico della retta parallela all'asse x di equazione y=b (colorata in viola).


  1. a > 1
    Nel caso a>1, dobbiamo considerare il grafico in rosso (funzione crescente).
    La prima disequazione: è verificata per x>a b.

    Infatti, in corrispondenza di valori superiori (alla destra) del punto di intersezione, la curva logaritmica si trova al di sopra della retta.
    La seconda disequazione: risulta, invece, verificata per 0 < x < a b.

Come visto nella sezione dedicata alle equazioni logaritmiche, il punto di intersezione tra curva logaritmica e retta (la soluzione dell'equazione logax=b) è dato da x=a b.

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE: ESEMPI

Anche nel caso delle disequazioni logaritmiche, come si vede, quando 0 Si noti che la funzione logaritmo assume tutti i valori reali (il suo codominio è tutto l'insieme dei reali R); pertanto, la disequazione logaritmica elementare ammette sempre soluzioni, qualunque sia il valore di b (ovvero, qualunque sia la posizione della retta sul piano cartesiano).

Nelle disequazioni logaritmiche è necessario fare molta attenzione all' insieme di definizione dei logaritmi che compaiono per scrivere le soluzioni in modo corretto.

Le prime volte può essere utile tracciare il grafico della funzione logaritmica, facendo attenzione a disegnarlo correttamente (!). Crescente se a>1, decrescente se 0

Vediamo alcuni esempi:


ma poiché deve essere x > 0 per l'esistenza del logaritmo, la soluzione è data da:
Vediamo un caso in cui la base è minore di 1 ed è quindi necessario "cambiare il verso":

Vediamo un altro esempio:



Cominciamo con il porre le condizioni di esistenza dei due logaritmi:

Questo sistema ha come soluzione (le due condizioni di esistenza devono valere contemporaneamente):
Risolviamo ora la disequazione.
La base è maggiore di 1, pertanto si ha: che ha come soluzione:
Confrontando la soluzione ottenuta con le condizioni poste in precedenza, si ha la soluzione della disequazione logaritmica assegnata:
Ultimo esempio.

Questa è una tipologia che ricorre spesso. Si può facilmente notare la struttura di una disequazione di secondo grado.


Posto: e imposta la condizione di esistenza del logaritmo, x > 0, si ottiene la disequazione di secondo grado:
Le soluzioni dell'equazione associata sono date da:
Quindi la disequazione è verificata per:
Torniamo ai logaritmi: si dovranno risolvere due disequazioni logaritmiche elementari.
La prima: fornisce la soluzione: x < 4.
La seconda: fornisce la soluzione: x >16.
Confrontando i due intervalli ottenuti con la condizione posta all'inizio, si ottiene la soluzione per la disequazione assegnata.

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni sulle equazioni, puoi dare uno sguardo qui: