Equazioni esponenziali: prima parte

Di Redazione Studenti.

Equazioni esponenziali con radici, logaritmi, incognita ausiliaria e basi diverse: schema e spiegazione facile delle equazioni con esercizi ed esempi

EQUAZIONI ESPONENZIALI

Equazioni esponenziali: tutto quello che devi sapere
Equazioni esponenziali: tutto quello che devi sapere — Fonte: istock

Potenze con esponente reale

La potenza a x è definita:
•  per ogni x R, se a>0
•  per x R +, se a=0
•  per x Z, se a<0

Si ricordi che:
R è l'insieme dei numeri reali;
R + denota i numeri reali strettamente positivi (quindi, lo zero è escluso);
Z denota l'insieme dei numeri interi (positivi e negativi, anche zero).

Pertanto, sono definite (e con la calcolatrice si può vedere che numero rappresentano) le seguenti:



Non sono, invece, definite:

Nota: su ci sono delle controversie sul valore che si potrebbe eventualmente attribuire per convenzione. Alcuni matematici propongono =1 per convenzione, ma non ci sono pareri concordi.

Quanto detto sopra, rimane comunque valido.

Casi particolari:
•  Se a=1: 1 x =1x, per ogni x R;
•  Se x=0: a 0 =10, per ogni aR+.

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y= ax
con a>0 fissato, x R.
Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x, è tutto R.

Il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume, è R+. Questo significa che la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva, ovvero che il suo grafico si trova al di sopra dell'asse x.
Circa il comportamento di questa funzione, si possono distinguere 3 casi, a seconda del segno della base a:

  • a >1: la funzione è crescente. Si veda il grafico in rosso.
  • a =1: la funzione è costante. Si veda il grafico in verde.
  • 0< a <1: la funzione è decrescente. Si veda il grafico in blu.

I seguenti grafici illustrano il comportamento della funzione esponenziale y=ax nei vari casi.

TIPI DI EQUAZIONI ESPONENZIALI

Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare soltanto nell'esponente di una o più potenze.
L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo:
ax= b

con a>0. x è l'incognita, come sempre.

Un'equazione esponenziale del tipo indicato sopra può essere impossibile (nessuna soluzione), può ammettere come soluzione ogni valore di x reale, o essere determinata (cioè ammettere un'unica soluzione).
Vediamo nel dettaglio questi primi casi elementari. Dall'ultimo, in particolare, discenderà la definizione di logaritmo.

  • Equazione esponenziale impossibile: se b0, oppure: a=1 e b1. Per esempio:2x =-3 1x=5
  • Equazione esponenziale verificata per ogni valore reale di x: se a=1 e b=1. Cioè: 1x= 1
    Come si vede, è una banale identità. Confronta anche con il grafico visto in precedenza (retta in verde). 
  • Equazione esponenziale determinata: se a>0 (e 1) e b>0. Per esempio: 3x = 5
    Questo è il caso più generale. E ci permette di definire la nozione di logaritmo.

LOGARITMI

Si chiama logaritmo in baseadib l'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare nel caso determinato.
Esso è, quindi, l'esponente da assegnare alla base a per ottenere il numero (positivo) b.

Nell'equazione vista prima (3x = 5), la soluzione (unica) è data da: x=log3 5, che si legge "logaritmo in base 3 di 5".
Generalmente, a questo punto sorge una domanda: "E quant'è questo valore?".

La cosa al momento ci interessa relativamente. Sicuramente è più grande di 1 e più piccolo di 2, perché 31 =3 e 32 =9. Se vogliamo saperlo esattamente, si può ricorrere a delle apposite tavole (dette appunto "tavole dei logaritmi") o utilizzare la calcolatrice.

Ma attenzione! In entrambi i casi (tavole o calcolatrice) è necessario applicare una proprietà dei logaritmi che renda possibile la consultazione delle tavole o il lavoro della calcolatrice. La vedremo in seguito.
Quello che è importante capire è che, nel momento in cui si scrive la soluzione dell'equazione sotto forma di logaritmo, si è risolta l'equazione. È un numero reale come tanti altri, non è necessario conoscere la sua espansione decimale (cosa peraltro impossibile, visto che, in generale, i logaritmi sono numeri decimali illimitati aperiodici).

EQUAZIONI ESPONENZIALI: ESEMPI

Vediamo ora alcuni esempi di equazioni esponenziali.

  • 2x = 8
    La soluzione è data da: x= log2 8. Questo numero, però, lo conosciamo bene: è 3. Infatti, l'esponente da dare a 2 per ottenere 8 è proprio 3.
    In questo caso, molto semplice, si è trovato un numero intero come soluzione. Non sarà sempre così, chiaramente.
    Vediamo un altro caso.
  • 2x =1/4
    In questo caso, ricordandosi le proprietà delle potenze, si ottiene immediatamente: x=-2.
    Infatti, elevando ad un esponente negativo bisogna fare la potenza (positiva) del reciproco.
    In questo caso si ha: 2-2 =(1/2) 2 =1/4.
    Come si vede, per risolvere queste equazioni, è necessario avere una certa familiarità con le proprietà delle potenze.

In generale, possiamo dare la seguente strategia per risolvere l'equazione elementare ax = b:

  • Se a e b si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, si eguagliano gli esponenti.
    È quello che abbiamo visto finora.
    Nel primo caso, 2x =8, si può scrivere: 2x =23
    E da questa, considerato che hanno le stesse basi i due membri dell'equazione, si eguagliano gli esponenti ottenendo x=3, come già visto.
  • Se a e b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivono sotto forma di logaritmi.
    Questo è il caso generale, di cui il precedente costituisce una particolarizzazione.
    Ad esempio:
    Nei casi più complessi, si ha che fare con esponenti in cui compaiono funzioni di x.
    E può anche capitare di avere nella stessa espressione, non uno, ma più esponenziali.

Tenete presente che l'esponenziale va trattato come un monomio: se compaiono 2 x, 5·2 x e 3·4x, i primi due si potranno sommare tra di loro (nel terminologia dei monomi si direbbe che sono simili) dando luogo a 6·2 x (il primo esponenziale ha coefficiente 1), mentre il terzo no, avendo una base diversa dai primi.
Analogamente, non si potranno sommare 5·2 x e 3·2 2x perché, pur avendo la stessa base, hanno esponenti diversi.

EQUAZIONI ESPONENZIALI: ESERCIZI

Vediamo alcuni esempi di equazioni esponenziali.


Risolviamola passo passo.

Si noti che se ad esponente si ha 2x, quando si passa ai logaritmi si pone: 2x=log3 (3/7).
Infine, per determinare x, basta dividere per 2 ad ambo i membri.

Quest'ultimo passaggio è quello si effettua nelle equazioni di primo grado: in effetti, nell'ultimo passaggio si ha proprio a che fare con un'equazione di primo grado.
Ricordatevi sempre che quello strano oggetto chiamato log3 (3/7) è un numero come tanti altri.

Utilizzando le proprietà delle potenze e sviluppando i calcoli otteniamo:

Dato che le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti, ottenendo un'equazione di secondo grado che si risolve al solito modo.

Vediamone ancora uno.

Innanzitutto è necessario osservare che:

Pertanto, l'equazione assegnata si può scrivere come:

Il minimo comune denominatore è proprio 2x e quindi:

Il denominatore lo possiamo tranquillamente eliminare (formalmente: moltiplicando ambo i membri per 2x): anche se compare l'incognita, non è necessario imporre alcuna condizione (denominatore 0), perché, come abbiamo visto, l' esponenziale non assume mai il valore zero (2x0, per ogni x).

Si ottiene pertanto:

Questo è un tipo di "struttura" che ricorre spesso negli esercizi sulle equazioni esponenziali.
Si riconosce una struttura ben nota: quella delle equazioni di secondo grado (dove l'incognita è 2x).
Ponendo dunque =z, si ottiene la seguente equazione nella variabile z:

che si risolve nel modo abituale, ottenendo: z=2 e z=4

Ora bisogna tornare alla variabile x:
Basta ri-sostituire a queste ultime l'espressione di z: z=2x.
Si ottiene: 2x =2, da cui x=1; 2x =4, da cui x=2
L'equazione data ha, quindi, due soluzioni: x=1 e x=2.

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

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